Fisica

FISICA LANZAMIENTO PARABOLICO

Los datos se representan en forma gráfica para mostrar la relación entre dos variables.

Existen dos tipos de variables: 


a)Las independientes que no están supeditadas a otras y que se escriben en el eje de las “x”. 

b) Las dependientes las cuales están sujetas al valor de las otras y se escriben en el eje de las “y”. 



En las gráficas existen relaciones lineales, inversas y cuadráticas. 



Ejemplos:

Concepto y representación

El movimiento parabólico, también conocido como tiro oblicuo, consiste en lanzar un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo α con la horizontal. En la siguiente figura puedes ver una representación de la situación.

El movimiento parabólico o tiro oblicuo resulta de la composición de un movimiento rectilíneo uniforme (mru horizontal) y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de lanzamiento hacia arriba o hacia abajo (mrua vertical).

Ecuaciones

Las ecuaciones del movimiento parabólico son:

Las ecuaciones del m.r.u. para el eje x

$x = x 0 + v x \cdot t$
Las ecuaciones del m.r.u.a. para el eje y

$v y = v 0 y + a y \cdot t$
$y = y 0 + v 0 y \cdot t + 1 2 \cdot a y \cdot t 2$

Dado que, como dijimos anteriormente, la velocidad forma un ángulo α con la horizontal, las componentes x e y se determinan recurriendo a las relaciones trigonométricas más habituales:

Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, que y₀ = H , x₀ = 0, y que a_y = -g , podemos reescribir las fórmulas tal y como quedan recogidas en la siguiente lista. Estas son las expresiones finales para el cálculo de las magnitudes cinemáticas en el movimiento parabólico o tiro oblicuo:

Posición (m)
- Eje horizontal
  
  $x = v x \cdot t = v 0 \cdot cos (α) \cdot t$
- Eje vertical
  
  $y = H + v 0 y \cdot t - 1 2 \cdot g \cdot t 2 = H + v 0 \cdot sin (α) \cdot t - 1 2 \cdot g \cdot t 2$
Velocidad (m/s)
- Eje horizontal
  
  $v x = v 0 x = v 0 \cdot cos (α)$
- Eje vertical
  
  $v y = v 0 y - g \cdot t = v 0 \cdot sin (α) - g \cdot t$
Aceleración (m/s²)
- Eje horizontal
  
  $a x = 0$
- Eje vertical
  
  $a y = - g$

Experimenta y Aprende

Datos
g = 9.8 m/s² | H = 30.00 m | α = 1.24 rad

v₀ = 9.00 m/s
v_0x = v₀ · cos(α) = 9.00 · cos(1.24) = 2.92 m/s
v_0y = v₀ · sin(α) = 9.00 · sin(1.24) = 8.51 m/s

x = v_x · t = 2.92 · 0.00 = 0.00 m
y = H + v_0y·t - 1/2 · g · t² = 30.00 + 8.51 . 0.00 - 1/2 · 9.8 · 0.00² = 30.00 m

v_x = v_0x = 2.92 m/s
v_y = v_0y - g · t = 8.51-9.8 · 0.00 = 8.51 m/s

Movimiento parabólico

La bola azul de la figura representa un cuerpo suspendido sobre el suelo. Puedes arrastrarlo hasta la altura inicial H que desees y seleccionar la velocidad inicial (v₀) con la que se lanzará formando un ángulo (α) con la horizontal. La línea gris representa la trayectoria que describirá con los valores que le has proporcionado.
A continuación pulsa el botón Play. Desliza el tiempo y observar como se calcula su posición (x e y) y su velocidad (v_x e v_y) en cada instante de su descenso hacia el suelo.
Comprueba como la proyección del cuerpo en el eje y (verde) describe un movimiento de lanzamiento vertical y en el eje x (rojo) describe un movimiento rectilíneo uniforme.

Ecuación de posición y de trayectoria en el movimiento parabólico

La ecuación de posición de un cuerpo nos sirve para saber en qué punto se encuentra en cada instante de tiempo. En el caso de un cuerpo que se desplaza en dos dimensiones, recuerda que, de forma genérica, viene descrita por:

r ⃗ (t) = x (t) i ⃗ + y (t) j ⃗

Sustituyendo la expresiones anteriores de la posición en el eje horizontal ( m.r.u. ) y en el eje vertical ( m.r.u.a. ) en la ecuación de posición genérica, podemos llegar a la expresión de la ecuación de posición para el lanzamiento horizontal.
La ecuación de posición del movimiento parabólico viene dada por:

r ⃗ = (x 0 + v 0 x \cdot t) \cdot i ⃗ + (H + v 0 y \cdot t - 1 2 \cdot g \cdot t 2) \cdot j ⃗

Movimiento parabólico

Ecuación de posición y de trayectoria en el movimiento parabólico

r ⃗ (t) = x (t) i ⃗ + y (t) j ⃗

La ecuación de posición del movimiento parabólico viene dada por:

r ⃗ = (x 0 + v 0 x \cdot t) \cdot i ⃗ + (H + v 0 y \cdot t - 1 2 \cdot g \cdot t 2) \cdot j ⃗

Por otro lado, para saber qué trayectoria sigue el cuerpo, es decir, su ecuación de trayectoria, podemos combinar las ecuaciones anteriores para eliminar t, quedando:

y = H + v 0 y \cdot (x v 0 x) - 1 2 \cdot g \cdot (x v 0 x) 2 = H + k 1 \cdot x - k 2 \cdot x 2 k 1 = v 0 y v x; k 2 = 1 2 \cdot v 0 x 2 \cdot g

Como cabía esperar, se trata de la ecuación de una parábola.
Por otro lado, será frecuente que en los ejercicios te pidan alguno de los siguientes valores.

Altura máxima

Este valor se alcanza cuando la velocidad en el eje y, v_y, vale 0. A partir de la ecuación de velocidad en el eje vertical, e imponiendo v_y= 0, obtenemos el tiempo t que tarda el cuerpo en llegar a dicha altura. A partir de ese tiempo, y de las ecuaciones de posición, se puede calcular la distancia al origen en el eje x y en el eje y.

Tiempo de vuelo

Se calcula igualando a 0 la componente vertical de la posición. Es decir, el tiempo de vuelo es aquel para el cual la altura es 0 (se llega al suelo).

Alcance

Se trata de la distancia máxima en horizontal desde el punto de inicio del movimiento al punto en el que el cuerpo impacta el suelo. Una vez obtenido el tiempo de vuelo, simplemente sustituye en la ecuación de la componente horizontal de la posición.

Ángulo de la trayectoria

El ángulo de la trayectoria en un determinado punto coincide con el ángulo que el vector velocidad forma con la horizontal en ese punto. Para su cálculo obtenemos las componentes v_x y v_y y gracias a la definición trigonométrica de tangente de un ángulo, calculamos α:

tan (α) = c a t e t o o p u e s t o c a t e t o c o n t i g u o = v y v x \Rightarrow α = tan - 1 (v y v x)

Ejemplo

Minuto 90 de juego... Lopera se acerca al balón para lanzar un libre directo a 40 metros exactos de la portería, da dos pasos hacia atrássss y lanzaaaa. El balón describe una trayectoria parabólica y sale con una elevación de 20º... y ¡¡¡¡¡GOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡GOOOOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡El balón entra por la escuadra a 1.70 metros de altura!!!. ¿Tras oir esta emisión en la radio sabrías responder a las siguientes preguntas?
a) Desde que Lopera chuta y marca el gol, ¿Cuanto tiempo ha transcurrido y a qué velocidad salió el balón desde las botas de Lopera?
b) ¿Qué altura máxima alcanzó el balón?
c) ¿Con qué velocidad llegó el balón a la portería?
total de recorrido horizontal.

Ecuaciones del movimiento parabólico

Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

$\mathbf{v_0} = v_0 \, \cos{\phi} \, \mathbf{i} + v_0 \, \sin{\phi} \, \mathbf{j}$
$\mathbf{a} = -g \, \mathbf{j}$

donde:

v_0 \,

es el módulo de la velocidad inicial.

\phi \,

es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.

g \,

es la aceleración de la gravedad.

\mathbf{i}, \mathbf{j}

son dos versores (vectores unitarios) en el plano.

La velocidad inicial se compone de dos partes:

v_0 \, \cos{\phi}

que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.

En lo sucesivo

v_{0x} \,

v_0 \, \sin{\phi}

que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.

En lo sucesivo

v_{0y} \,

Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:

\mathbf{v_0} = v_{0x} \, \mathbf{i} + v_{0y} \, \mathbf{j}

: [ecu. 1]

Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.

Ecuación de la aceleración

La única aceleración que interviene en este movimiento es la constante de la gravedad, que corresponde a la ecuación:

\mathbf{a} = -g \, \mathbf{j}

que es vertical y hacia abajo.

Ecuación de la velocidad

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:

$\begin{cases} \mathbf{a} = \cfrac{d\mathbf{v}}{dt} = -g \mathbf{j} \\ \mathbf{v}(0) = v_{0x}\mathbf{i}+v_{0y}\mathbf{j} \end{cases}$

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

$\mathbf{v}(t) = v_{0x}\mathbf{i}+(v_{0y}-gt)\mathbf{j}$

[mostrar] Deducción de la ecuación de la velocidad

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.

Ecuación de la posición

Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con la relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición puede ser encontrada integrando de la siguiente ecuación diferencial:

$\begin{cases} \mathbf{v} = \cfrac{d\mathbf{r}}{dt} = v_{0x}\mathbf{i}+(v_{0y}-gt)\mathbf{j} \\ \mathbf{r}(0) = x_0\mathbf{i}+y_0\mathbf{j} \end{cases}$

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

$\mathbf{r}(t) = (v_{0x} \; {t} + x_0)\, \mathbf{i} + \left ( - \frac{1}{2} g {t^2} + v_{0y} \; t+ y_0 \right) \, \mathbf{j}$

[mostrar] Deducción de las ecuación de la posición

La trayectoria del movimiento parabólico está formada por la combinación de dos movimientos, uno horizontal de velocidad constante, y otro vertical uniformemente acelerado; la conjugación de los dos da como resultado una parábola.

Movimiento parabólico con rozamiento

Artículo principal: Trayectoria balística

Cuando consideramos el rozamiento la trayectoria es casi una parábola pero no exactamente. El estudio de la trayectoria en ese caso es considerado por la balística.

Generalizaciones relativistas

En teoría de la relatividad para que un móvil ejecute una trayectoria parabólica se requiere un campo de fuerzas no uniforme o una fuerza dependiente del tiempo. Sin embargo, es interesante estudiar un análogo aproximado que sería el de un móvil sometido a una fuerza constante que no sea paralela a la velocidad, esto ocasiona un movimiento cuasiparabólico. Este es, por ejemplo, con gran aproximación el movimiento que ejecuta un electrón u otra partícula cargada frente a una placa plana cargada uniformemente (condensador plano). La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante, alineada con la dirección X es:

$\begin{cases} \cfrac{d}{dt}\left( \cfrac{v_x}{\sqrt{1-(v_x^2+v_y^2)/c^2}} \right) = \cfrac{F}{m_0} = w\\ \cfrac{d}{dt}\left( \cfrac{v_y}{\sqrt{1-(v_x^2+v_y^2)/c^2}} \right) = 0\\ v_x(0) = V_{0,x},\ v_y(0) = V_{0,y} \end{cases}$

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa).

Véase también

Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es más complicada que la parábola, tal como sucede en el caso clásico cuando el movimiento se da sobre un plano.-->

Fisica

jueves, 14 de mayo de 2015

Concepto y representación

Ecuaciones

Ecuación de posición y de trayectoria en el movimiento parabólico

Ecuación de posición y de trayectoria en el movimiento parabólico

Altura máxima

Tiempo de vuelo

Alcance

Ángulo de la trayectoria

Ecuaciones del movimiento parabólico

Ecuación de la aceleración

Ecuación de la velocidad

Ecuación de la posición

Movimiento parabólico con rozamiento

Generalizaciones relativistas

Véase también

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